Sobre series con sucesiones de Lucas, y series con polinomios de Fibonacci en los denominadores

 

La anterior identidad se cumple para todo x ∉ {0, -1, - 1/2, - 2/3, - 3/5,...} siendo todos aproximaciones de -1/φ, que es justamente el otro valor de x que indefine la expresión. 

Hay, no obstante, algo más interesante aún acerca esos valores de x: si evaluamos la suma para estos valores antes de llegar a la fracción que indefine cada valor respectivamente, obtenemos productos de 2 números de Fibonacci, con signos alternados:

x = -1 → - 1 = - (1  ·  1)

x = -1/2 → -2 - - 4 = 2 = 1  ·  2

x = -2/3 → -6 = - (2  ·  3)

x = -3/5 → 15 = (3  ·  5) 

etc. 

etc. 

 

Y si tomamos x = - 1/φ = 1 - φ en la primer identidad, curiosamente obtenemos números de Fibonacci con índice par, al redondear al entero más cercano, alternándose su signo:

etc.