Conjeturas relacionadas con el problema de la colcha de la señora Perkins

 

En la imagen las disecciones del cuadrado son coprimas: “El problema es dividir un cuadrado n X n en cuadrados enteros más pequeños, el MCD de cuyos lados es 1, utilizando el menor número de cuadrados posible”.

Encontrar la cantidad de cuadrados requeridos para teselar un cuadrado n × n de esta forma sigue siendo un problema abierto. 

Conjetura: Se pueden encontrar disecciones tales que  sucesión formada por las sumas de las longitudes de los lados de los cuadrados pequeños de cada cuadrado grande forma una progresión aritmética: siempre se pueden encontrar disecciones mínimas tales que la suma de las longitudes de los lados de cada cuadrado son 3 unidades más que la suma de las longitudes de los lados del cuadrado (n - 1) × (n - 1).

En otras palabras, mi conjetura es: siempre es posible, para un cuadrado n × n, encontrar una disección mínima tal que la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados resultantes es 3n - 2.

Sin embargo, y como me señaló Ed Pegg Jr., las disecciones mostradas en MathWorld no son las únicas disecciones mínimas posibles, y en esas otras disecciones no se cumple necesariamente esta propiedad. 

Algo más que puede observarse, y esto parece cumplirse para toda disección, es que la diferencia de la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados de una disección n × n y la de las longitudes de los cuadrados de una disección (n - 1) x (n - 1) es siempre un número impar. 

Otra conjetura que tengo es que es posible encontrar sucesiones de soluciones tales que al alternar sumar y restar cada longitud, empezando con la más grande y disminuyendo hasta la más pequeña (con repeticiones), y luego restar la suma resultante a la suma correspondiente al siguiente cuadrado, la diferencia es 1.

Además, si elevamos las longitudes de los lados de los cuadrados a una potencia impar, y luego realizamos el mismo cálculo de diferencias para cuadrados consecutivos, obtenemos un múltiplo de 3.