Cusanus999

etc. También podemos considerar el patrón de cada bisección de la sucesión. Para los denominadores impares tenemos: etc.  Para los denominadores pares tenemos: etc.  Podemos ver estas identidades así, en términos de números de Fibonacci y de Lucas: Véase también este interesante trabajo de Ramaré y Garnier, donde se mencionan identidades similares.  Además: Similarmente, existe una relación entre la función coseno y los números de Jacobsthal: Una relación más general es la siguiente: El caso x = √5 es la identidad del inicio, cuando el número que divide a π es impar. De allí podemos obtener este corolario: Podemos combinar esta identidad con la del inicio de mi otro post sobre e, π y el triángulo de Pascal, para obtener esta interesante identidad para la constante de Gelfond (e^π): Para polinomios de Fibonacci con índice par se cumple: etc.  Otra relación con los números de Fibonacci viene dada por: etc. Cada número tiene esta interesante forma: etc. Para la tangente se cumplen esta

Lo notable de esta expresión es que la secuencia de los coeficientes que acompañan a las potencias pares de π, junto con dichas potencias — si ignoramos los signos negativos — son polinomios de Fibonacci (sustituyendo π por x ), que pueden encontrarse en diagonales del triángulo de Pascal.  Si tomamos en cuenta los signos negativos, se pueden encontrar los coeficientes de los numeradores al extender el patrón del triángulo de Pascal más allá de la fila 0, en el triángulo de Pascal rotado: Al cortar la expresión en puntos finitos y resolver los polinomios resultantes se obtienen aproximaciones de π como la siguiente: ≈ 3.1436 Claramente, el problema de aproximaciones como esta es que son muy lentas en cuanto a acercarse al valor de π , y rápidamente se vuelve extremadamente complicado calcularlas. La expresión de la imagen, por ejemplo, es una solución del polinomio truncado en el 5° término de la serie infinita del inicio del post. La identidad se obtiene al combinar mi fórmula qu