Identidades que relacionan a e con φ, sucesiones de Lucas, polinomios de Fibonacci, polinomios de Lucas y otros tipos de polinomios
Donde [ φ ^ k ] significa: ( φ ^ k ) redondeado al entero más cercano. Demostración: Esta identidad es el caso x = 1 de esta otra más general: Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler-Binet : Si x es un entero positivo, se obtienen relaciones entre e y otras secuencias de Lucas en los numeradores de las fracciones que están en el numerador de la fracción grande. Por ejemplo, si x = 2 se obtiene la antiguamente llamada “Sucesión de Pibonacci” (3, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, ...) Por su parte — cuando x = 2 — en los numeradores que están en el denominador de la fracción grande se obtiene la sucesión A013655 (3, 2, 5, 7, 12, 19,...) con los signos alternados, que es además la extensión de la sucesión de Pibonacci hacia la izquierda (..., -19 , 12 , -7 , 5 , -2 , 3 , 1, 4, 5, 9, ...) Esto también aplica para las demás secuencias resultantes al sustituir x por un entero positivo. Si x es una fracción 1/n , y n es un entero positivo, se obtiene en los numeradores de las fraccio