π y e en el triángulo de Pascal
Lo notable de esta expresión es que la secuencia de los coeficientes que acompañan a las potencias pares de π, junto con dichas potencias — si ignoramos los signos negativos — son polinomios de Fibonacci (sustituyendo π por x), que pueden encontrarse en diagonales del triángulo de Pascal.
Si tomamos en cuenta los signos negativos, se pueden encontrar los coeficientes de los numeradores al extender el patrón del triángulo de Pascal más allá de la fila 0, en el triángulo de Pascal rotado:
Al cortar la expresión en puntos finitos y resolver los polinomios resultantes se obtienen aproximaciones de π como la siguiente:
≈ 3.1436
Claramente, el problema de aproximaciones como esta es que son muy lentas en cuanto a acercarse al valor de π, y rápidamente se vuelve extremadamente complicado calcularlas. La expresión de la imagen, por ejemplo, es una solución del polinomio truncado en el 5° término de la serie infinita del inicio del post.
La identidad se obtiene al combinar mi fórmula que relaciona a e con los polinomios de Fibonacci (al respecto, véase este post), con la identidad de Euler, conocida como la identidad más bella de todas las matemáticas.
Además, usando el hecho notable de que 1 + 1/3! + 1/5! + 1/7! + 1/9! +... es igual al seno hiperbólico de 1, se obtiene una bella identidad que involucra a π , a e y a los polinomios de Fibonacci:
La demostración directa de la identidad del inicio es bastante sencilla:
De aquí se sigue que:
Y también se deducen las siguientes (infinitas) identidades:
Para volver a la identidad que relaciona a e y a π se suman los términos en diagonal así:
Aquí hay unas identidades para los números de Lucas:
En general:
k > 0.
π también está relacionado con los números de Pell mediante esta identidad:
En esta otra identidad, al sustituir π con x, los polinomios resultantes en los numeradores son polinomios de Chebyshev de segundo tipo en posiciones impares.
Al simplificar la expresión obtenemos esta identidad:
Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo en posiciones pares guardan esta relación con π:
Para los números de Pell tenemos:
Simplificando en la identidad trasanterior al ver que 1/2!! + 1/6!! + 1/10!! + 1/14!! = senh(1/2), obtenemos otra relación entre π y e:
Esta otra es una identidad similar a la que se obtiene con la serie de Taylor del seno para π, que es de hecho más rápida para obtener aproximaciones de π:
La fórmula análoga a la que se obtiene de la serie de Taylor para el coseno es esta:
π también guarda relación con el triángulo de Pascal (1, 2) mediante polinomios de Lucas:
De la expresión también se deduce esta identidad, del hecho de que 2/0! + 2/2! +2/4! + ... = 2 cosh(1) = e + e^-1:
Y sumando los coeficientes se obtiene una relación más entre π y φ:
Esto se sigue de esta curiosa relación entre π y φ:
Una cuestión que surge aquí es la de si existe una secuencia de números en los denominadores que relacione a π con el triángulo de Pascal (1, 3) [y en general triángulos de Pascal tipo (1, n), con n > 2] de manera similar. Por ejemplo si hay una sucesión de números que verifique esta identidad:
Lo más cercano a ello que he encontrado es la siguiente identidad:
La diferencia es que en el triángulo de Pascal (1, 3) se coloca un 0 en la cúspide del triángulo, y un 3 a la derecha de este, lo cual cambia los valores de las entradas y conduce a la identidad.
La identidad análoga para el triángulo de Pascal (1, 4) es:
Simplificando la expresión trasanterior obtenemos esta identidad:
Donde al sumar los coeficientes se obtiene la secuencia A002315, una secuencia con la propiedad de que el triple del cuadrado de cada uno de sus términos es un cuadrado impar.
Reconociendo que 1 + 3/3! + 5/5! + 7/7! + ... = 1 + 1/2! + 1/4! + 1/6! + ... = cosh(1), obtenemos esta identidad:
Y si multiplicamos ambos lados por π en la identidad trasanterior, obtenemos la relación de este último con los polinomios de Chebyshev de primer tipo en posiciones impares:
Esta identidad se puede expresar con una notación más simple:
Estos polinomios tienen una hermosa representación mediante un gráfico polar:
Esta otra identidad muestra la relación entre π y la sucesión A001710 (en los denominadores: 1, 3, 3 • 4 • 5, 3 • 4 • 5 • 6 • 7, ...):
a(n - 1) [a(0) = 1, a(1) = 1, a(2) = 1, a(3) = 3, a(4) = 12, a(5)= 60, etc] es el número de collares que se pueden hacer con n abalorios distintos: n! permutaciones de abalorios, divida entre dos para representar voltear el collar, divida entre n para representar rotar el collar. Relacionada con los números de Stirling de primera especie, los ciclos de Stirling. — Chad Brewbaker
Y estas otras identidades relacionan a e y π con polinomios relacionados con los números de Jacobsthal en posiciones pares, y con dichos números:
Los otros números de Jacobsthal — los que están en posiciones impares — parecen mantener está relación con π:
Cómo el primer término de la serie se relaciona con los demás se hace claro al ver la expresión de esta manera:
Pues se puede extender hacia la izquierda la secuencia de números de Jacobsthal:
..., -1/4, 1/2, 0, 1, 1, 3, 5, 11, ...
Y parece que también se cumple la identidad con 0 si seguimos retrocediendo:
..., 3/8, -1/4, 1/2, 0, 1, 1, 3, 5, 11, ...
Podemos continuar hacia la derecha también:
..., -1/4, 1/2, 0, 1, 1, 3, 5, 11, ...
..., 5, 11, 21, 43, 85, 171, ...
Aparentemente este patrón se mantiene indefinidamente.
La potencia de π no es relevante, ya que al ser igual a 0 las expresiones podemos multiplicar ambos lados por cualquier potencia de π, manteniendo la igualdad. Lo que tienen de particular este tipo de números es que esta propiedad se cumple sin importar por cual número de la sucesión se empiece, lo cual no funciona, por ejemplo, con los números de Fibonacci.
Funciona también para los números de Jacobsthal - Lucas:
Pareciera que esta interesante propiedad se mantiene para toda secuencia tipo Jacobsthal: en la cual cada término es la suma del anterior más el doble del trasanterior.
Otra identidad de tipo similar es esta:
Para esta sucesión, la propiedad no se cumple.
La relación de π con los polinomios de Pell-Lucas está dada por esta igualdad:
Y aquí hay otra identidad:
Otras interesantes relaciones entre e y π vienen dadas por estas identidades:
Estas conexiones se establecen mediante polinomios de Lucas.
π y e también se relacionan de manera interesante mediante polinomios de Bernoulli:
π guarda también relación con la sucesión Newman - Shanks - Williams:
Volviendo al inicio del post, una pregunta interesante es: ¿Qué suma obtenemos si sumamos las diagonales del triángulo que corresponden a los polinomios de Fibonacci con índice par? La respuesta es muy interesante:
=
Nótese que la sucesión 2, 4, 12, 40, 140, ... es la sucesión de los números que son el doble que los coeficientes binomiales centrales:
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Si este es de hecho el patrón, ¿quiere decir que el patrón de los coeficientes de π^2 son estos? :
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El patrón en general parece ser por ende este:
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Y así sucesivamente.
La identidad es esta:
Cada sumando del lado derecho de esta identidad también guarda relación con la función de Bessel de primer tipo y con funciones hipergeométricas. Por ejemplo:
He aquí otra cosa interesante: si en la imagen trasanterior sumamos las entradas en la diagonal, la sucesión de números resultante es la circunvolución de los coeficientes binomiales centrales y la sucesión de Fine. Esta circunvolución tiene una interesante conexión con los números primos dada por Gauss:
Las congruencias de Gauss a(n · p^k) ≡ a(n^p^(k-1)) mod p^k se cumplen para primos p >= 3 y enteros positivos n y k. - Peter Bala, 7 de enero de 2022
Como consecuencia de la relación de la circunvolución con las sucesiones de coeficientes binomiales que se puede observar en la imagen, obtenemos estas identidades combinatorias:
Además:
1 = 1
3 = 3
10 + 1 = 11
35 + 5 = 40
126 + 21 + 1 = 148
462 + 84 + 7 = 553
etc.
(OEIS A014301).
Y curiosamente:
1 = 4 - 3
7 = 4^2 - 3^2
36 + 1 = 4^3 - 3^3
165 + 9 + 1 = 4^4 - 3^4
715 + 55 + 10 + 1 = 4^5 - 3^5
etc.
Es natural preguntarse si otras secuencias de polinomios que se cancelan al aplicar la identidad de Euler tienen sumas similares. Los polinomios de Chebyshev de primer tipo en posición par guardan esta relación:
(Usando el método de Zig zag, la primer suma es 0). Desconozco a qué equivalen la cuarta y posteriores series.
Una relación entre π y los números de Motzkin es:
Conjetura:
A) Si a(0) = 0, a(1) = 1, y ∀n ∈ ℕ: a(n) = k · a(n - 1) + a(n - 2), con k impar, entonces:
B) Si a(0) = 0, a(1) = 1, y ∀n ∈ ℕ: a(n) = k · a(n - 1) + a(n - 2), con k par, entonces:
Otra interesante identidad es esta:
Una conexión mediante los polinomios probabilísticos de Hermite viene dada por la siguiente identidad:
En general, es posible encontrar identidades para todos los triángulos del siguiente tipo:
0 x
1 x x
1 x + 1 2x
1 x + 2 3x + 1
etc.
Al considerar las diagonales irregulares del triángulo se obtienen relaciones con (e - 1/e)/2, de la forma x · senh(1).
Si tomamos x = e/(e^2 - 1) obtenemos:
Si tomamos x = 1 obtenemos:
La identidad general es:
Y podemos generalizarla más aún:
Y esto se cumple para todo y, x reales.
Demostrar esta identidad es sorprendentemente fácil:
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