Cusanus999

etc. También podemos considerar el patrón de cada bisección de la sucesión. Para los denominadores impares tenemos: etc.  Para los denominadores pares tenemos: etc.  Podemos ver estas identidades así, en términos de números de Fibonacci y de Lucas: Véase también este interesante trabajo de Ramaré y Garnier, donde se mencionan identidades similares.  Además: Similarmente, existe una relación entre la función coseno y los números de Jacobsthal: Una relación más general es la siguiente: El caso x = √5 es la identidad del inicio, cuando el número que divide a π es impar. De allí podemos obtener este corolario: Podemos combinar esta identidad con la del inicio de mi otro post sobre e, π y el triángulo de Pascal, para obtener esta interesante identidad para la constante de Gelfond (e^π): Para polinomios de Fibonacci con índice par se cumple: etc.  Otra relación con los números de Fibonacci viene dada por: etc. Cada número tiene esta interesante forma: etc. Para la tangente se cumplen esta

  La anterior identidad se cumple para todo x ∉ {0, -1, - 1/2, - 2/3, - 3/5,...} siendo todos aproximaciones de -1/φ, que es justamente el otro valor de x que indefine la expresión.  Hay, no obstante, algo más interesante aún acerca esos valores de x: si evaluamos la suma para estos valores antes de llegar a la fracción que indefine cada valor respectivamente, obtenemos productos de 2 números de Fibonacci, con signos alternados: x = -1 → - 1 = - (1  ·  1) x = -1/2 → -2 - - 4 = 2 = 1  ·  2 x = -2/3 → -6 = - (2  ·  3) x = -3/5 → 15 = (3  ·  5)  etc.  etc.    Y si tomamos x = - 1/φ = 1 - φ en la primer identidad, curiosamente obtenemos números de Fibonacci con índice par, al redondear al entero más cercano, alternándose su signo: etc. 

Donde [ φ ^ k ] significa: ( φ ^ k ) redondeado al entero más cercano. Demostración: Esta identidad es el caso x = 1 de esta otra más general: Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler-Binet : Si x es un entero positivo, se obtienen relaciones entre e y otras secuencias de Lucas en los numeradores de las fracciones que están en el numerador de la fracción grande. Por ejemplo, si x = 2 se obtiene la antiguamente llamada “Sucesión de Pibonacci” (3, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, ...) Por su parte — cuando x = 2 — en los numeradores que están en el denominador de la fracción grande se obtiene la sucesión A013655 (3, 2, 5, 7, 12, 19,...) con los signos alternados, que es además la extensión de la sucesión de Pibonacci hacia la izquierda (..., -19 , 12 , -7 , 5 , -2 , 3 , 1, 4, 5, 9, ...) Esto también aplica para las demás secuencias resultantes al sustituir x por un entero positivo. Si x es una fracción 1/n , y n es un entero positivo, se obtiene en los numeradores de las fraccio