Cusanus999

  La anterior identidad se cumple para todo x ∉ {0, -1, - 1/2, - 2/3, - 3/5,...} siendo todos aproximaciones de -1/φ, que es justamente el otro valor de x que indefine la expresión.  Hay, no obstante, algo más interesante aún acerca esos valores de x: si evaluamos la suma para estos valores antes de llegar a la fracción que indefine cada valor respectivamente, obtenemos productos de 2 números de Fibonacci, con signos alternados: x = -1 → - 1 = - (1  ·  1) x = -1/2 → -2 - - 4 = 2 = 1  ·  2 x = -2/3 → -6 = - (2  ·  3) x = -3/5 → 15 = (3  ·  5)  etc.  etc.    Y si tomamos x = - 1/φ = 1 - φ en la primer identidad, curiosamente obtenemos números de Fibonacci con índice par, al redondear al entero más cercano, alternándose su signo: etc. 

Donde [ φ ^ k ] significa: ( φ ^ k ) redondeado al entero más cercano. Demostración: Esta identidad es el caso x = 1 de esta otra más general: Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler-Binet : Si x es un entero positivo, se obtienen relaciones entre e y otras secuencias de Lucas en los numeradores de las fracciones que están en el numerador de la fracción grande. Por ejemplo, si x = 2 se obtiene la antiguamente llamada “Sucesión de Pibonacci” (3, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, ...) Por su parte — cuando x = 2 — en los numeradores que están en el denominador de la fracción grande se obtiene la sucesión A013655 (3, 2, 5, 7, 12, 19,...) con los signos alternados, que es además la extensión de la sucesión de Pibonacci hacia la izquierda (..., -19 , 12 , -7 , 5 , -2 , 3 , 1, 4, 5, 9, ...) Esto también aplica para las demás secuencias resultantes al sustituir x por un entero positivo. Si x es una fracción 1/n , y n es un entero positivo, se obtiene en los numeradores de las fraccio