Números de Fibonacci e identidades trigonométricas

etc.

También podemos considerar el patrón de cada bisección de la sucesión. Para los denominadores impares tenemos:

etc. 

Para los denominadores pares tenemos:

etc. 

Podemos ver estas identidades así, en términos de números de Fibonacci y de Lucas:

Véase también este interesante trabajo de Ramaré y Garnier, donde se mencionan identidades similares. 

Además:

Similarmente, existe una relación entre la función coseno y los números de Jacobsthal:

Una relación más general es la siguiente:

El caso x = √5 es la identidad del inicio, cuando el número que divide a π es impar. De allí podemos obtener este corolario:

Podemos combinar esta identidad con la del inicio de mi otro post sobre e, π y el triángulo de Pascal, para obtener esta interesante identidad para la constante de Gelfond (e^π):

Para polinomios de Fibonacci con índice par se cumple:

etc. 

Otra relación con los números de Fibonacci viene dada por:

etc.

Cada número tiene esta interesante forma:

etc.

Para la tangente se cumplen estas identidades:

etc.

Además de esta curiosa relación con los números primos:

etc.

Donde cada término a la derecha es un número de Zsigmondy. Ello se deduce de esta identidad, la cual se cumple si y sólo si p es primo:

Donde Zs(p, a, 1) es el máximo divisor de a^p - 1 que es coprimo con a^n - 1 para todo n que cumple 0 < n < p. 

Además, en sucesiones de Zsigmondy de este tipo, siempre se cumple que el siguiente número que es mayor que todos los anteriores tiene un índice primo distinto de a - 1. Por ejemplo, tenemos para a = 3:

No obstante, esto no implica que haya alguna relación especial entre la tangente y los números primos, como puede apreciarse en esta identidad:

Además:

Podemos definir la siguiente sucesión de Lucas: a(0) = 0, a(1) = 1, a(n) = 4 a(n - 1) - a(n - 2). Los primeros términos de esta sucesión son:

0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545,... 

Y resulta que sólo para números con índice primo se cumple una condición parecida a la de los números de Zsigmondy:   a(n) es el divisor mayor del enésimo término de la sucesión, que es coprimo con el m-ésimo término de la sucesión, para todos los enteros positivos m < n.

A su vez, esto significa simplemente que si n es primo y m < n, entonces a(n) es coprimo con a(m). 

Nuevamente, esto no refleja una relación especial entre los números primos y la función tangente:

 

Y en general:

Para todo x ≠ 0.

(Nota: esta identidad la encontré con ayuda de Chat GPT).

Otra relación trigonométrica es la siguiente:

Se demuestra así:

Usando los números de Lucas, se obtiene una relación más directa con el número aureo:

La demostración es la siguiente:

En ambos casos se usan identidades que se pueden encontrar aquí, bajo el título de “truly obscure identities”

Se pueden generalizar estas identidades para los polinomios de Fibonacci y Lucas:

Ciertos valores de x dan identidades para números como √3, por ejemplo x = 2π/3:

Para el número de plata (δ = 1 + √2) tenemos:

Una interesante relación entre la tangente hiperbolica y los polinomios de Fibonacci es:

Cuando x = i, se obtiene esta interesante identidad:

Y en general, parece que se mantiene esta relación entre polinomios de Fibonacci y de Lucas:

Volviendo al anterior tipo de identidad, tenemos que:

Con G_0 = 0 y G_1 = 1.