Identidades que relacionan a e con φ, sucesiones de Lucas, polinomios de Fibonacci, polinomios de Lucas y otros tipos de polinomios

Donde [φ^k] significa: (φ^k) redondeado al entero más cercano.

Demostración:

Esta identidad es el caso x = 1 de esta otra más general:

Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler-Binet:

Si x es un entero positivo, se obtienen relaciones entre e y otras secuencias de Lucas en los numeradores de las fracciones que están en el numerador de la fracción grande. Por ejemplo, si x = 2 se obtiene la antiguamente llamada “Sucesión de Pibonacci”(3, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, ...)

Por su parte — cuando x = 2 — en los numeradores que están en el denominador de la fracción grande se obtiene la sucesión A013655 (3, 2, 5, 7, 12, 19,...) con los signos alternados, que es además la extensión de la sucesión de Pibonacci hacia la izquierda (..., -19, 12, -7, 5, -2, 3, 1, 4, 5, 9, ...)

Esto también aplica para las demás secuencias resultantes al sustituir x por un entero positivo.

Si x es una fracción 1/n, y n es un entero positivo, se obtiene en los numeradores de las fracciones del numerador grande una secuencia de Lucas cuyos términos iniciales son (n + 1, n), y todas con denominador n.

En los numeradores del denominador de la fracción grande, se obtiene la sucesión que es la extensión “hacia la izquierda” de la sucesión del numerador de la fracción grande, todos con denominador n.

Al extraer el factor de 1/n del numerador y denominador grandes, se obtiene esta otra identidad:

Esto tiene sentido, ya que por ejemplo si quitamos los signos alternados a la extensión hacia la izquierda de la sucesión de Pibonacci, vemos que su propia extensión hacia la izquierda son los números de Pibonacci con los signos alternados.

En cuanto a los números de Fibonacci, al sustituir enteros negativos por x en mi fórmula, se cumple la fórmula general:

También encontré una fórmula general basada en polinomios de Fibonacci, los cuales están relacionados con el triángulo de Pascal:

Y puesto que los polinomios de Fibonacci tienen una fórmula cerrada similar a la de Binet para los números de Fibonacci, se puede demostrar esta identidad así:

Una fórmula que relaciona a e con los números de Jacobsthal es la siguiente:

La cual se deduce de esta fórmula general:

Y también de esta otra fórmula, usando polinomios de Jacobsthal:

Los números de Jacobsthal - Lucas guardan esta relación con el número e:

Dicha identidad se deriva de esta fórmula general:

Aquí hay otras relaciones entre e y φ:

Y así ad infinitum. La secuencia de los exponentes de e es A002878.

Es interesante notar que esta secuencia de números también relaciona a los números de Fibonacci con los polinomios de Fibonacci y los números de Lucas, de manera muy similar a como relacionan a e con los números de Lucas:

(Según Wolfram Mathworld, estas identidades se obtienen mediante polinomios de Chebyshev de segundo tipo).

Pues obsérvese que en la identidad para e^4 las potencias de φ (excepto la primera) son los múltiplos de 3, en la identidad para e^11 son los múltiplos de 5, y así ad infinitum.

El número de plata también posee identidades análogas:

La secuencia de los exponentes de e es la secuencia de números k tales que (k^2 + 4)/2 es un cuadrado. Los términos de la secuencia son por tanto soluciones a la ecuación de Pell:

Cuando D = 2.

También las hay para el número de bronce [(3 + √13)/2]:

Esas identidades para números metálicos se deducen a su vez de esta otra fórmula, que relaciona a e con los polinomios de Lucas:

Esta fórmula se demuestra así:

Otras identidad es:

Y aquí hay otra relación entre e y los números de Fibonacci:

Otras relaciones de e con φ son estas:

Y esta otra interesante identidad:

Cuando x = i obtenemos esta identidad:

También se puede deducir de la siguiente fórmula general:

Una definición análoga similar a la definición usual de la función exponencial natural es dada por esta identidad:

Otra relación entre e y φ viene dada por esta identidad:

Y aquí hay otro par de relaciones entre e y los números de Fibonacci y Lucas:

De manera similar se relaciona también con los números de Jacobsthal y Jacobsthal - Lucas:

Hay también una relación interesante entre e y los polinomios de Bernoulli:

Y entre e y los polinomios de Euler:

Notablemente, estas fórmulas se pueden generalizar aún más:

Volviendo a los polinomios de Lucas, también se cumple que:

Y en general:

Esta última proposición es:

Se demuestra así:

Similarmente:

Y una relación entre e y la sucesión A001464 (con signos distintos) es:

Esta sucesión está relacionada con los polinomios probabilísticos de Hermite. 

La relación general de la exponencial con estos polinomios viene dada por esta identidad:

Podemos generalizar una identidad anterior:

Will Sawin demostró una identidad similar, aunque para los números de Fibonacci en vez de para los polinomios de Fibonacci, aquí.