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Números de Fibonacci e identidades trigonométricas

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etc. También podemos considerar el patrón de cada bisección de la sucesión. Para los denominadores impares tenemos: etc.  Para los denominadores pares tenemos: etc.  Podemos ver estas identidades así, en términos de números de Fibonacci y de Lucas: Véase también este interesante trabajo de Ramaré y Garnier, donde se mencionan identidades similares.  Además: Similarmente, existe una relación entre la función coseno y los números de Jacobsthal: Una relación más general es la siguiente: El caso x = √5 es la identidad del inicio, cuando el número que divide a π es impar. De allí podemos obtener este corolario: Podemos combinar esta identidad con la del inicio de mi otro post sobre e, π y el triángulo de Pascal, para obtener esta interesante identidad para la constante de Gelfond (e^π): Para polinomios de Fibonacci con índice par se cumple: etc.  Otra relación con los números de Fibonacci viene dada por: etc. Cada número tiene esta interesante forma: etc. Para la tangente se cumplen esta
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Sobre series con sucesiones de Lucas, y series con polinomios de Fibonacci en los denominadores

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  La anterior identidad se cumple para todo x ∉ {0, -1, - 1/2, - 2/3, - 3/5,...} siendo todos aproximaciones de -1/φ, que es justamente el otro valor de x que indefine la expresión.  Hay, no obstante, algo más interesante aún acerca esos valores de x: si evaluamos la suma para estos valores antes de llegar a la fracción que indefine cada valor respectivamente, obtenemos productos de 2 números de Fibonacci, con signos alternados: x = -1 → - 1 = - (1  ·  1) x = -1/2 → -2 - - 4 = 2 = 1  ·  2 x = -2/3 → -6 = - (2  ·  3) x = -3/5 → 15 = (3  ·  5)  etc.  etc.    Y si tomamos x = - 1/φ = 1 - φ en la primer identidad, curiosamente obtenemos números de Fibonacci con índice par, al redondear al entero más cercano, alternándose su signo: etc. 
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Conjeturas relacionadas con el problema de la colcha de la señora Perkins

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  En la imagen las disecciones del cuadrado son coprimas: “El problema es dividir un cuadrado n X n en cuadrados enteros más pequeños, el MCD de cuyos lados es 1, utilizando el menor número de cuadrados posible”. Encontrar la cantidad de cuadrados requeridos para teselar un cuadrado n × n de esta forma sigue siendo un problema abierto.  Conjetura: Se pueden encontrar disecciones tales que  sucesión formada por las sumas de las longitudes de los lados de los cuadrados pequeños de cada cuadrado grande forma una progresión aritmética: siempre se pueden encontrar disecciones mínimas tales que la suma de las longitudes de los lados de cada cuadrado son 3 unidades más que la suma de las longitudes de los lados del cuadrado (n - 1) × (n - 1). En otras palabras, mi conjetura es: siempre es posible, para un cuadrado n × n, encontrar una disección mínima tal que la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados resultantes es 3n - 2. Sin embargo, y como me señaló Ed Pegg Jr., las diseccion
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π y e en el triángulo de Pascal

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Lo notable de esta expresión es que la secuencia de los coeficientes que acompañan a las potencias pares de π, junto con dichas potencias — si ignoramos los signos negativos — son polinomios de Fibonacci (sustituyendo π por x ), que pueden encontrarse en diagonales del triángulo de Pascal.  Si tomamos en cuenta los signos negativos, se pueden encontrar los coeficientes de los numeradores al extender el patrón del triángulo de Pascal más allá de la fila 0, en el triángulo de Pascal rotado: Al cortar la expresión en puntos finitos y resolver los polinomios resultantes se obtienen aproximaciones de π como la siguiente: ≈ 3.1436 Claramente, el problema de aproximaciones como esta es que son muy lentas en cuanto a acercarse al valor de π , y rápidamente se vuelve extremadamente complicado calcularlas. La expresión de la imagen, por ejemplo, es una solución del polinomio truncado en el 5° término de la serie infinita del inicio del post. La identidad se obtiene al combinar mi fórmula qu
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